niedziela, 13 stycznia 2013

Wektory i własności własne

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przyłożeniu do niego endomorfizmu; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów. Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.
Definicje
Niech \scriptstyle X będzie przestrzenią liniową nad ciałem \scriptstyle K, zaś \scriptstyle \mathrm T oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora \scriptstyle x przestrzeni spełniony jest warunek

\mathrm Tx = \lambda x,
gdzie \scriptstyle \lambda jest pewnym skalarem, to \scriptstyle x nazywa się wektorem własnym, a \scriptstyle \lambda nazywa się wartością własną przekształcenia \scriptstyle \mathrm T.
Danej wartości własnej \scriptstyle \lambda operatora \scriptstyle \mathrm T odpowiada zbiór
X_\lambda(T) = \{x\in X\colon Tx = \lambda x\}
 nazywany podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej \scriptstyle \lambda, gdyż tworzy on domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni \scriptstyle X. Jej wymiar nazywa się wielokrotnością wartości własnej \lambda.
Często zakłada się, że \scriptstyle K jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolona, zaś na \scriptstyle X określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że \scriptstyle X jest pewną przestrzenią Banacha, a \scriptstyle \mathrm T\colon X\to X jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

 Własności
  • Jeżeli \scriptstyle \mathrm T jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta \scriptstyle X, to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
  • Jeżeli \scriptstyle \lambda \in K jest wartością własną operatora \scriptstyle \mathrm T, to \scriptstyle |\lambda|\leqslant \|\mathrm T\| (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
  • Liczba \scriptstyle \lambda \in K jest wartością własną operatora \scriptstyle \mathrm T wtedy i tylko wtedy, gdy operator \scriptstyle \mathrm T_\lambda = \lambda I-T nie jest różnowartościowy.
  • Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
  • Jeśli macierz \scriptstyle \mathbf A potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej \scriptstyle V, to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
  • Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi \scriptstyle V, to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni
Autor: o

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)