Aproksymacja

Aproksymacja – proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Zazwyczaj aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi. 

Zadanie najlepszej aproksymacji

Niech dana będzie przestrzeń liniowa z normą i niech będzie podprzestrzenią liniową skończonego wymiaru. Zadanie najlepszej aproksymacji polega na znalezieniu takiego (elementu najlepszej aproksymacji dla danego ), że zachodzi:

Należy przez to rozumieć, że element jest elementem "najbliższym" do aproksymowanego spośród wszystkich elementów .

Zadanie najlepszej aproksymacji jest zawsze rozwiązywalne tzn. dla każdego istnieje element najlepszej aproksymacji , ale niekoniecznie jest on jedyny. Należy zauważyć, że element najlepszej aproksymacji zależy od normy, jaka została przyjęta w przestrzeni .

Zadanie najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unitarnych

Niech będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym i niech norma w będzie generowana tym iloczynem:

  .

Wtedy element najlepszej aproksymacji jest jedyny i jest określony następującą tożsamością

Aproksymacja funkcji

         Aproksymacje można wykorzystać w sytuacji, gdy nie istnieje funkcja analityczna pozwalająca na wyznaczenie wartości dla dowolnego z jej argumentów, a jednocześnie wartości tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Mogą to być na przykład wyniki badań aktywności biologicznej dla wielu konfiguracji leków. Do wyznaczenia aproksymowanej aktywności biologicznej nieznanego leku można wówczas zastosować jedną z wielu metod aproksymacyjnych.

Aproksymowanie funkcji może polegać na przybliżaniu jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. funkcji bazowych. Od funkcji aproksymującej, przybliżającej zadaną funkcję nie wymaga się, aby przechodziła ona przez jakieś konkretne punkty, tak jak to ma miejsce w interpolacji. Z matematycznego punktu widzenia aproksymacja funkcji w pewnej przestrzeni Hilberta jest zagadnieniem polegającym na odnalezieniu pewnej funkcji gdzie jest podprzestrzenią tj. takiej, by odległość (w sensie obowiązującej w normy) między a była jak najmniejsza. Funkcja aproksymująca może wygładzać daną funkcję (gdy funkcja jest gładka, jest też różniczkowalna).

Aproksymacja funkcji powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji. Dużą zaletą aproksymacji w stosunku do interpolacji jest to, że aby dobrze przybliżać, funkcja aproksymująca nie musi być wielomianem bardzo dużego stopnia (w ogóle nie musi być wielomianem). Przybliżenie w tym wypadku rozumiane jest jako minimalizacja pewnej funkcji błędu. Prawdopodobnie najpopularniejszą miarą tego błędu jest średni błąd kwadratowy, ale możliwe są również inne funkcje błędu, jak choćby błąd średni.

Istnieje wiele metod aproksymacyjnych. Jednymi z najbardziej popularnych są: aproksymacja średniokwadratowa i aproksymacja jednostajna oraz aproksymacja liniowa, gdzie funkcją bazową jest funkcja liniowa.

Wiele z metod aproksymacyjnych posiada fazę wstępną, zwaną również fazą uczenia oraz fazę pracy. W fazie wstępnej, metody te wykorzystując zadane pary punktów i odpowiadających im wartości aproksymacyjnych niejako „dostosowują” swoją strukturę wewnętrzną zapisując dane, które zostaną wykorzystane później w fazie pracy, gdzie dla zadanego punktu dana metoda wygeneruje odpowiadającą mu wartość bądź wartości aproksymowane. Funkcja aproksymująca może być przedstawiona w różnej postaci. Najczęściej jest to postać:

• wielomianu (tzw. aproksymacja wielomianowa),
• funkcji sklejanych,
• funkcji matematycznych uzyskanych na drodze statystyki matematycznej (przede wszystkim regresji),
• sztucznych sieci neuronowych.

Funkcje aproksymujące w postaci wielomianu i funkcji sklejanych można wykorzystać jedynie wtedy, gdy funkcja aproksymowana jest w postaci jednej zmiennej.