Metody Iteracji

Metody Iteracji

Metody Iteracji służą do przybliżonego rozwiązywania układów równań. Rozwiązanie otrzymuje się w wyniku pewnego postępowania sekwencyjnego, przy czym w każdym jego kroku uzyskuje się przybliżenie szukanego rozwiązania. Punktem wyjścia jest odgadnięte pierwsze przybliżenie niewiadomych H, np. … które można zapisać jako wektor «H«(⁰). Pierwszy krok algorytmu prowadzi do nowego wektora «H»(¹).Po k krokach otrzymuje się wektor «H»(^k) i następny krok prowadzi do «H»(^k+1). Aby iteracja miała sens, proces musi być zbieżny, to znaczy kolejne wyrazy ciągu «H»(^k) muszą zdążać do ścisłego rozwiązania wyjściowego układu równań, gdy k zdąża do nieskończoności. Do m.i. należą: → schemat jawny, → schemat uwikłany, → Cranka-Nicholsona schemat, → Jacobiego metoda, → Gaussa-Seidela metoda, → metoda zmiennych kierunków.

Przykłady

 Metoda Gaussa-Seidla
 jest metodą relaksacyjną, w której poszukiwanie rozwiązania rozpoczyna się od dowolnie wybranego rozwiązania próbnego , po czym w kolejnych krokach, zwanych iteracjami, za pomocą prostego algorytmu zmienia się kolejno jego składowe, tak by coraz lepiej odpowiadały rzeczywistemu rozwiązaniu. Metoda Gaussa-Seidla bazuje na metodzie Jacobiego, w której krok iteracyjny zmieniono w ten sposób, by każda modyfikacja rozwiązania próbnego korzystała ze wszystkich aktualnie dostępnych przybliżonych składowych rozwiązania. Pozwala to zaoszczędzić połowę pamięci operacyjnej i w większości zastosowań praktycznych zmniejsza ok. dwukrotnie liczbę obliczeń niezbędnych do osiągnięcia zadanej dokładności rozwiązania.

Metoda Warda - Hale’a
jest metodą iteracyjną, umożliwiającą rozwiązanie równań sieci elektroenergetycznej w oparciu o układ równań nieliniowych wiążących ze sobą i w każdym węźle. Odpowiednio zależnie od rodzaju węzła wybiera się także zmienne niezależne i zależne oraz przyjmuje część wielkości za znane. Podstawą rozpoczęcia procesu rozwiązywania równań jest przyjęcie rozwiązania wyjściowego (przybliżenie zerowe), z którego wyznacza się rozwiązania po pierwszym kroku iteracyjnym. Rozwiązanie to jest rozwiązaniem wyjściowym drugiego kroku iteracyjnego itd. Jeżeli proces iteracyjny jest zbieżny to kolejne rozwiązania są coraz dokładniejsze, proces przerywa się, gdy różnica między kolejnymi krokami iteracyjnymi jest dostatecznie mała.